درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف
درس 1: مفهوم تابع
سال گذشته در فصل خط و معادلههای خطی با مثال دوچرخهسوار، رابطهای را بین زمان و مسافت طی شده تعریف کردیم.
در مثال مذکور، دوچرخهسوار با سرعت ثابت 2 متر در ثانیه در حال حرکت است؛ یعنی در هر ثانیه 2 متر را طی میکند. جدول زیر رابطهٔ بین زمان $\left( t \right)$ و مسافت طی شده $\left( d \right)$ را نشان میدهد: (جدول را کامل کنید)
| 5 | 4/5 | ........ | 2/5 | 2 | 1 | 0 | زمان برحسب ثانیه $\left( t \right)$ |
| ........ | 9 | 8 | 5 | ........ | 2 | 0 | مسافت طی شده برحسب متر $\left( d \right)$ |
همانطور که مشاهده میکنید، در این مثال متغیر زمان $\left( t \right)$ بهصورت مستقل تغییر کرده و متغیر مسافت $\left( d \right)$ بر اساس تغییرات t تغییر میکند و در واقع تغییرات متغیر d تابعی از تغییرات متغیر t است. این رابطه که میتوان آنرا بهصورت جبری و به شکل $d=2t$ نمایش داد، رابطهای خطی نامیده شد. در حالت کلی رابطههایی بهصورت $y=ax+b$، را رابطههای خطی نامیدیم.
این رابطهها که نمودار آنها یک خط است، در واقع ارتباط مشخصی بین x و y نقاطی است که روی این خط قرار دارند. بهعنوان مثال اگر فرض کنیم $y=2x+1$ معادله یا ضابطهٔ یک خط باشد، مختصات هر نقطه که در این معادله صدق کند به این معناست که آن نقطه روی این خط واقع است و بالعکس اگر نقطهای روی این خط واقع باشد، باید مختصات آن نقطه در معادلهٔ $\left( 2x+1 \right)$ صدق کند. همانطور که مشاهده میکنید عرض هر نقطهٔ روی این خط یعنی y، مساوی است با دو برابر طول همان نقطه به علاوهٔ 1 یعنی $\left( 2x+1 \right)$؛ بنابراین رابطهٔ بین x و y کاملاً معین است در جدولهای زیر مختصات چند نقطه و رابطهٔ بین x و y آنها بر اساس ضابطهٔ داده شده، آمده است: (جاهای خالی را پر کنید)
| $y=-2x+3$ | ....... | 0 | $\frac{1}{2}$ | ....... | 3 | 5 | 1 | x |
| 0 | ....... | ....... | 3 | ....... | 7- | 1 | y |
| $y={{x}^{2}}+1$ | 1- | 0 | ....... | 2 | 1 | x |
| ....... | ....... | $\frac{5}{4}$ | ....... | 2 | y |
نمودار خط $y=4x-2$ را روی محورهای زیر رسم کرده و جدول داده شده را کامل کنید:
در محیط اطراف خودمان و در جهان طبیعت نیز پدیدههایی میتوان یافت که در آنها ارتباط خاصی بین دو متغیر وجود دارد.
بهعنوان مثالی از این رابطهها میتوان به رابطهٔ بین قد و وزن افراد اشاره کرد. یکی از روشهای متداول برای اندازهگیری وزن مطلوب در افراد، استفاده از نمایهٔ توده بدنی یا نماتوب $\left( BMI \right)$ است که طبق رابطهٔ زیر محاسبه میشود:
با استفاده از این رابطه، برای هر فرد نماتوب محاسبه میشود که بر اساس این شاخص و بهصورت زیر نسبت به عدد حاصل نتیجهگیری میشود.
شخص لاغر است و کمبود وزن دارد $\lt 19\Rightarrow $ نماتوب (الف
شخص وزن طبیعی دارد و در محدوده سلامت وزنی است $\lt 25\Rightarrow $ نماتوب $19\le $ (ب
شخص اضافه وزن دارد $\lt 30\Rightarrow $ نماتوب $25\le $ (پ
شخص چاق است و وضعیت بحرانی دارد $\ge 30\Rightarrow $ نماتوب (ت
البته وزن مطلوب با سن هر شخص رابطی مستقیم دارد، زیرا با افزایش سن بهطور طبیعی میزان چربی ذخیرهای بدن بالا رفته و نماتوب افزایش مییابد. متخصصان علوم تغذیه با توجّه به سن افراد مطابق جدول زیر نماتوب مناسب افراد مختلف را تعیین میکنند.
| نماتوب | گروه سنی |
| 22 | 24 - 19 |
| 23 | 34 - 25 |
| 24 | 44 - 35 |
| 25 | 54 - 45 |
| 26 | 64 - 55 |
| 27 | 65 به بالا |
پس از یافتن نماتوب متناسب با گروه سنی، هر فرد میتواند وزن مطلوب خود را از فرمول زیر بهدست آورد:
توان دوم یا مربع قد برحسب متر $\times $ نماتوب = وزن مطلوب برحسب کیلوگرم
با دقت در رابطه یا تساوی فوق تشخیص میدهید که وزن مطلوب، تابعی از طول قد هر فرد است (بستگی به طول قد دارد) و نیز درمییابید که وزن مطلوب به نماتوب نیز بستگی دارد.در فرمول فوق طول قد و نماتوب متغیرهایی هستند که وزنِ مطلوب، متغیری است که وابسته به این دو متغیر است.
آیا میتوانید با توجّه به جدول قبل اگر فردی در گروه سنی 54 - 45 قرار داشته باشد و طول قد این فرد 189 سانتیمتر باشد، وزن مطلوب برای این شخص را تعیین کنید؟
ریاضیدان و منجم ایرانی، جمشید غیاثالدین کاشانی در اوایل قرن هشتم ه. ق توانست عدد $\pi $ را با دقتی که تا 150 سال بعد از وی بینظیر ماند، محاسبه کند. او کتاب رسالهٔ محیطیه خود را با این جمله شروع میکند:
«به نام او که از اندازهٔ نسبت محیط دایره به قطرش آگاه است.»
فعالیت (صفحهٔ 42 کتاب درسی)
میدانیم مساحت دایره از تساوی $S=\pi \times {{r}^{2}}$ بهدست می آید. در این رابطه $\pi $ عددی است ثابت که تقریباً $\pi =3/14$ در نظر گرفته میشود و r شعاع دایره است:
1- آیا متغیر S تابعی از شعاع دایره است؟
2- آیا محیط دایره نیز تابعی از شعاع است؟
3- کدام متغیر، مستقل و کدام متغیر، وابسته است؟
4- جدول زیر را کامل کنید.
| 4 | 3 | 2 | 1/5 | 1 | r برحسب سانتیمتر (شعاع) |
| ....... | ....... | $4\pi $ | ....... | $\pi $ | S برحسب سانتیمتر مربع (مساحت) |
| ....... | $6\pi $ | ....... | ....... | ....... | P برحسب سانتیمتر (محیط) |
در رابطهٔ خطی $y=3x+1$ نیز y ، تابعی از تغییرات متغیر مستقل x است، یعنی وقتی x را به دلخواه و مستقل، تغییر میدهیم، y نیز تغییر میکند. حال اگر xها را روی محور افقی و yهای حاصل را روی محور عمودی در نظر بگیریم، بهازای هر x و y حاصل، یک نقطه در صفحه مشخص میشود که آنرا با یک زوج به شکل $\left( x,y \right)$ نمایش میدهیم. ترتیب قرار گرفتن x و y در این زوج اهمیت دارد و به همین دلیل آنرا یک زوج مرتب مینامیم. در زوج مرتب $\left( x,y \right)$، x را مؤلّفه یا مختص اول و y را مؤلّفهٔ دوم مینامیم.
(اگر $\left( a,b \right)=\left( c,d \right)$ آنگاه $b=d$ و $a=c$ و برعکس اگر $b=d$ و $a=c$ آنگاه $\left( \left( a,b \right) \right.=\left( c,d \right)$
نمودار خط $y=2x-3$ را روی دستگاه مختصات رسم کنید:
فعالیت (صفحهٔ 42 تا 43 کتاب درسی)
1- جدول زیر را کامل کنید.
| $y=3x+1$ | 2 | ....... | ....... | ....... | ....... | 1- | x |
| ....... | $3\sqrt{2}+1$ | ....... | ....... | ....... | 2- | y | |
| $(.....,.....)$ | $(..... , .....)$ | $(1,...)$ | $(\frac{2}{3},3)$ | $(.....,1)$ | $(-1,-2)$ | $\left( x,y \right)$ |
2- مشابه قسمت 1 جدولی برای $y={{x}^{2}}$ تشکیل دهید.
استفاده از نمودار وِن و رسم پیکانهایی از طرف متغیر مستقل بهسمتِ متغیر وابسته به درک ارتباط بین این دو متغیر کمک میکند. به کار در کلاس زیر توجّه کنید:
کار در کلاس (صفحهٔ 43 تا 44 کتاب درسی)
با توجّه به رابطهٔ خطی $y=2x-3$، اگر فرض کنیم، xها یا متغیرهای مستقل اعضای مجموعهٔ $A=\left\{ 0,1,-1,\frac{1}{2},2 \right\}$ باشند. ابتدا جدول مربوط به این رابطه را مشابه جدول قبل، تشکیل میدهیم و سپس نمودار پیکانی آنرا رسم میکنیم. (جاهای خالی را پر کنید.)
| $y=2x-3$ | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | 0 | 1- | x |
| ....... | ....... | ....... | ....... | 5- | y | |
| ....... G |
....... F |
....... E |
$(0,.....)$ D |
$(-1,-5)$ C |
$\left( x,y \right)$ |
اگر هر یک از «زوج مرتب»های جدول قبل را یک نقطه در صفحه فرض کنیم، نمودار مختصاتی رابطهٔ خطیِ قبل بهصورت زیر رسم میشود:
سؤال: برای رابطهٔ $y={{x}^{2}}$ که $x\in A=\left\{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right\}$ مشابه مثالِ قبل، جدول، نمودار پیکانی و نمودار مختصاتی را تشکیل دهید.
مفهوم تابع
در تمام فعالیتها، مثالها و تمرینهای قبل، رابطهها طوری تعریف شده بودند که بهازای هر متغیر مستقل مانند x، دقیقاً یک مقدار برای y بهدست میآید؛ مثلاً در رابطهٔ $y=2x+3$ اگر x را مساوی 2 فرض کنیم، $y=2\times 2+3=7$ بهدست میآید.
اگر این ویژگی برای یک رابطه وجود داشته باشد، آنرا تابع مینامند. به عبارت دقیقتر:
فعالیت (صفحهٔ 45 تا 47 کتاب درسی)
1- کدامیک از رابطهها که با نمودار پیکانی نمایش داده شدهاند، تابعاند؟ چرا؟
|
|
|
| تابع ........................ زیرا | تابع ........................ زیرا |
|
|
|
| تابع ........................ زیرا | تابع ........................ زیرا |
2- کدام مجموعه از زوج مرتبها، نمایش یک تابع است؟
$F=\left\{ \left( 2,3 \right),\left( 3,3 \right),\left( 4,3 \right),\left( 5,3 \right) \right\}$ (الف
$G=\left\{ \left( 4,1 \right),\left( 2,-1 \right),\left( 1,-1 \right),\left( 4,2 \right) \right\}$ (ب
$H=\left\{ \left( 2,3 \right) \right\}$ (پ
$I=\left\{ \left( 3,3 \right) \right\}$ (ت
$J=\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 2,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 2,4 \right) \right\}$ (ث
3- کدامیک از رابطهها که نمودار مختصاتی آنها رسم شده است، تابعاند؟ چرا؟
4- کدام یک از رابطههای تعریف شدهٔ زیر، تابع است و کدام تابع نیست؟ دلایل خود را بنویسید.
الف) رابطهای که به هر شهر در ایران، سوغاتیِ آن شهر را نسبت میدهد. تابع است / تابع نیست
ب) رابطهای که به هر فرد، روز تولد او را نسبت میدهد. تابع است / تابع نیست
پ) رابطهای که به هر شهر، نمایندهٔ آن شهر در مجلس شورای اسلامی را نسبت میدهد. تابع است / تابع نیست
ت) رابطهای که به هر مسلمان، قبلهٔ او را نسبت میدهد. تابع است / تابع نیست
با توجّه به فعالیت قبل و تعریف تابع میتوان گفت:
- اگر رابطهٔ بین x و y را (x متغیر مستقل) بهصورت جدولی و زوج مرتبی نمایش دهیم، در صورتی تابع است که هیچ دو زوج مرتب متمایزی با مؤلفههای اول برابر در آن وجود نداشته باشد.
- اگر رابطه از مجموعهٔ A به مجموعهی B را با نمودار پیکانی نمایش دهیم، در صورتی این رابطه تابع است که از هر عضو A دقیقاً یک پیکان خارج شود.
- اگر نمودار مختصاتی یک رابطه رسم شود، در صورتی این رابطه تابع است که هیچ دو نقطهای روی خطی که موازی محور yها باشد، قرار نگیرند.
کار در کلاس (صفحهٔ 47 کتاب درسی)
در جدول زیر در هر سطر یکی از نمایشهای رابطهای مشخص شده است. ابتدا برای هر رابطه جاهای خالی را پر کنید سپس تشخیص دهید که کدام رابطه، تابع است.
| جدولی | توصیفی | نمایش زوج مرتبی | نمایش مختصاتی | نمایش پیکانی |
|
|
||||
|
|
||||
| f رابطهای است که به هر عضو مجموعهٔ $A = \left\{ {0,1, - 1,2, - 2} \right\}$ توان چهارم آنرا نسبت میدهد. | ||||
|
|
||||
|
|
تمرین (صفحهٔ 48 تا 49 کتاب درسی)
1- نمودار پیکانی یک رابطه رسم شده است. با حذف کدام عضو این رابطه تابع خواهد شد؟
2- اگر A مجموعهای 3 عضوی و B مجموعهای 2 عضوی فرض شود. سه تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را تعریف کنید.
3- در رابطهٔ زیر جاهای خالی را اعدادی قرار دهید که این رابطه تابع نباشد.
$f = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {......,5} \right),\left( {3,......} \right),\left( {......,......} \right)} \right\}$
4- کدام رابطه تابع است و کدام رابطه تابع نیست؟ چرا؟
|
|
پ) $f = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {3,2} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,4} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}$
ت) رابطهای که به هر شخص، شماره ملی او را نسبت میدهد.
5- اگر رابطهٔ $f$ تابع باشد، در اینصورت حاصل ${x^2} + {y^2}$ را به دست آورید. (مجموعهٔ $f$ را پس از محاسبهٔ $x$ و $y$ بنویسید.)
$f = \left\{ {\left( {2,x + y} \right),\left( {2,4} \right),\left( {5,2} \right),\left( {3,4} \right),\left( {5,x - y} \right)} \right\}$
6- نمودار کدام رابطه یک تابع را مشخص میکند؟
